The Pell Equation
1658
- Malebranche,
Essai de résolution par Malebranche de l'équation
Ax2 + 1 = y2,
Bibliothèque Nationale Paris
1732
- L. Euler,
Letter to Goldbach
Aug. 10, 1732
1738
- L. Euler,
De solutione problematum Diophantaeorum per numeros integros,
Comm. Acad. Sci. Imp. Petropol. 1832, vol VI, p. 175, St. Petersburg
1764
- L. Euler,
De resolutione formularum quadraticarum indeterminatarum per
numeros integros,
Novi Acad. Sci. Petropol. 9, p. 3
1766
- J.L. Lagrange,
Solution d'un problème d'arithmé'tique
Misc. Taur. IV, p. 41
1767
- L. Euler,
De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo,
Novi Acad. Sci. Petropol. 11 (1765) 1767, 28-66;
Opera Omnia I-3, 73-111
- J.L. Lagrange,
Sur la solution des problèmes indeterminées du
second degré,
Histoire de L'Acad Berlin XXIII, p. 272; XXIV, p. 236
1798
- P. Cosali,
Origine, trasporto in Italia, primi progressi in essa dell'algebra
Parma 1798
- A.M. Legendre,
Thé'orie des Nombres
Paris 1798
1807
- F. Pezzi,
Nuovi teoremi sulla possibilitá dell'equazione
x2 - Ay2 = ± 1 e ricerca del
numero de termini del periodo della radice quadra di un
numero non quadrato, sviluppata in frazione continua
Mem. mat. fis. Soc. Ital. Sci. 13 (1807), 342
1808
- A.M. Legendre,
Thé'orie des Nombres
second edition
1820
- G. Paletti,
Risolutione dell'equazione generale completa di secondo grado a tre
indeterminate,
Roma 1820
1830
- A.M. Legendre,
Thé'orie des Nombres
third edition
1834
- G.P.L. Dirichlet,
Einige neue Sätze über unbestimmte Gleichungen,
Abh. Kön. Akad. Wiss. Berlin, 649--664;
Gesammelte Werke I, 221--236
- M.A. Stern,
Theorie der Kettenbrüche und ihre Anwendung,
J. Reine Angew. Math. 11, 311-350
1837
- G.P.L. Dirichlet,
Sur la manière de résoudre l'équation
t2 - pu2 = 1 au moyen des fonctions
circulaires,
J. Reine Angew. Math. 17 (1837), 286; Werke I (1889), 345
1841
- G.W. Tenner,
Einige Bemerkungen über die Gleichung
t2 - Du2= ±1,
Programm Merseburg
1845
- F. Arndt,
Disquisitiones nonnullae de fractionibus continuis,
Diss. Sundia, 32pp
1846
- F. Arndt,
Bemerkungen über die Verwandlung der irrationalen Quadratwurzel
in einen Kettenbruch,
J. Reine Angew. Math. 31, 343-358
- C.G.J. Jacobi,
Über die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie,
J. Reine Angew. Math. 30, 166
1849
- F. Arndt,
Untersuchungen über einige unbestimmte Gleichungen zweiten
Grades, und die Verwandlung der Quadratwurzel aus einem Bruche
in einen Kettenbruch,
Arch. Math. Phys. 12 (1849), 211
1853
- A. Göpel,
De aequationibus secundi gradus indeterminatis,
J. Reine Angew. Math. 45 (1853), 1
1857
- M.A. Stern,
Zur Theorie der periodischen Kettenbrüche,
J. Reine Angew. Math. 8, 1-102
- A. Cayley,
Note sur l'é'quation
x2 - Dy2 = ± 4, D = 5 mod 8,
J. Reine Angew. Math. 53 (1857), 369
1859
- G.C. Gerono,
Résoudre en nombres entiers l'équation
x2 - ny2 = 1, dans laquelle on suppose
que n represente un nombre entier, positif, non carré,
Nouv. Ann. Math. 17 (1859), 122, 153
1863
- L. Kronecker,
Über die Auflösung der Pellschen Gleichung mittels
elliptischer Functionen
Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der
Wissenschaften zu Berlin 1863, S. 44-50; French transl.
Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 3 (1866), 303
1864
- C. Richaud,
Énoncés de quelques théorèmes
sur la possibilité de l'équation
x2 - Ny2 = -1 en nombres entiers,
J. Math. Pures Appl. (2) 9, 384-388
1865
- C. Richaud,
Démonstrations de quelques théorèmes concernant la
résolution en nombres entiers de l'équation
x2 - Ny2 = -1,
J. Math. Pures Appl. (2) 10, 235-292
- C. Richaud,
Sur la résolution des équations
x2 - Ay2 = ± 1,
Atti Accad. Pont. Nuovi Lincei 19, 177-182
- C. Richaud,
Démonstrations de quelques théorèmes concernant la
résolution en nombres entiers de l'équation
x2 - Ny2 = -1,
J. Math. Pures Appl. (2) 11, 145-176
1867
- E. Catalan,
Rectification et addition à la note sur un problème
d'analyse indéterminée,
Atti dell'Accad. Pont. Nuovi Lincei 20, 1ff; 77ff
1868
- Öttinger,
Ueber das Pell'sche Problem und einige damit zusammenhängende
Probleme aus der Zahlenlehre,
Grunert Arch. XLIX. 193-222.
1870
- L. Calzolari,
Nota sull'equazione
Ax2 ± By2 = u2,
Giorn. mat. 8 (1870), 28
1871
- P. Seeling,
Ueber die Auflösung der Gleichung
x2 - Ay2= ±1
in ganze Zahlen, wo A positiv und kein vollständiges Quadrat ist
Grunert Arch. LII. 40-49.
1872
- F. Didon, C. Moreau,
Solution of a question,
Nouv. Ann. Math. (2) 11 (1872), 48
1873
- C. Minnigerode,
Ueber eine neue Methode, die Pell'sche Gleichung aufzulösen,
Gött. Nachr. 1873. 619-652.
- C. Moreau,
Solution de la question 1055
Nouv. Ann. (2) XII. 330-331.
1874
- W. Schmidt,
Ueber die Auflösung der Gleichung
t2-Du2= ± 4, wo D
eine positive ungrade Zahl und kein Quadrat ist
Schlömilch Z. XIX. 92-94.
1875
- S. Bills,
A new method of solving in integers the equation
x2 - Ay2 = ± 1;
with application to questions 4520, 4535.
Educ. Times XXIII. 98-99.
1876
- H. J. S. Smith,
Notes on the theory of the Pellian equation and of
binary quadratic forms of a positive determinant,
Proc. L. M. S. VII. 196.
1877
- D.S. Hart
A new method of solving equations of the form of
x2-Ay2=1
Educ. Times XXVIII. 29-30.
- A. Kunerth,
Neue Methoden zur Auflösung unbestimmter quadratischer
Gleichungen in ganzen Zahlen
Wien. Ber. LXXV.
1878
- H. Brocard,
Notes élémentaires sur le problème de Pell,
N. C. M. IV. 161-169, 193-200, 228-232.
- D.S. Hart,
Solution of an indeterminate problem
Analyst V. 118-119.
1879
- C. Henry,
Recherches sur les manuscrits de Pièrre de Fermat
suivres de fragments in^eacute;dits de Bachet et de Malebranche
- K.E. Hoffmann,
Ueber die Kettenbruchentwickelung für die Irrationale
2ten Grades
Grunert Arch. LXIV. 1-8.
- S. Roberts,
On forms of numbers determined by continued fractions
Proc. L. M. S. X. 29-41.
1880
- S. Réalis,
Sur quelques questions se rattachant au problème de Pell,
N. C. M. VI. 306-312.
%
- B. Krummbiegel, A. Amthor,
Das Problema bovinum des Archimedes
Schlömilch Z. XXV. III. A. 121-136, 153-171.
1881
- P. Tannery,
Sur le problème des boeufs d'Archimède
Darb. Bull. (2) V. 25-30.
1882
- S. Günther,
Ueber einen Specialfall der Pell'schen Gleichung,
Bair. Bl. XVII. 19-24; transcription
1884
- S. Roberts,
Note on the Pellian equations
Lond. M. S. Proc. XV. 247-268.
1885
- G. Frattini,
Intorno ad un teorema di Lagrange
Rom. Acc. Rend. (4) I. 12, 136-142.
1887
- A. Meyer,
Ueber eine Eigenschaft der Pellschen Gleichung,
Wolf Z. XXXII. 363-382.
- J. Perott,
Sur l'équation t2 - Du2 = -1
Premier mémoire.
J. für Math. CII. 185-225.
- R. Müller,
Ueber rationale Dreiecke und ihren Zusammenhang mit der
Pell'schen Gleichung,
Hoppe Arch. (2) V. 111-112.
1889
- F. Tano,
Sur quelques théorèmes de Dirichlet
J. für Math. CV. 160-169.
1891
- G. Frattini,
Dell'analisi indeterminata di secondo grado
Periodico di Mat. VI. 169-180; VII. 7-15, 49-54, 88-92, 119-124, 172-177.
1892
- K. Schwering,
Zerfällung der lemniskatischen Theilungsgleichung in vier
Factoren,
J. Reine Angew. Math. 110 (1892), 42
%
1893
- H. Weber,
Ein Beitrag zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen
mit einer Anwendung auf Zahlentheorie
Math. Ann. XLIII. 185-196.
1894
- G. Speckmann,
Fundamentalauflösungen der Pell'schen Gleichung
Hoppe Arch. (2) XIII. 327-329.
- G. Speckmann,
Ueber die Auflösung der Pell'schen Gleichung
Hoppe Arch. (2) XIII. 330-333.
1895
- Frattini, G.
Dell'equazione di Pell a coefficiente algebrico
Batt. G. XXXIII. 371-378.
- E. Bortolotti,
Sulle frazioni continue algebriche periodiche
Palermo Rend. IX. 136-149.
- G. Speckmann,
Ueber unbestimmte Gleichungen
Leipzig und Dresden. C. A. Koch's Verlag (H. Ehlers u. Co.) 11 S.
- A.H. Bell,
On the celebrated ``cattle problem'' of Archimedes
Math. Magazine. II. 163-164.
1896
- G. Frattini,
Risoluzione dell'equazione ax2+bxy+cy2=m
a determinante positivo in numeri interi
Periodico di Mat. 11, 8S.
- G. Frattini,
Dell'equazione di Pell a coefficiente algebrico
Batt. G. 34, 98-109.
- G. Speckmann,
Ueber unbestimmte Gleichungen xten Grades
Hoppe Arch. (2) 14, 443-445.
- C. Størmer,
Om en Egenskab ved Lösningen af den Pellske Ligning
x2-Ay2=± 1 (Danish)
Nyt Tidss. for Math. 7B, 44-52.
1897
- C. Størmer,
Quelques théorèmes sur l'équation de Pell
x2-Dy2= ± 1
et leurs applications
Christiania Videnskabsselskabs Skrifter. M. N. Klasse No. 2.
Udgivet for Fridthjof Nansen's Fond. 48 p. in Imp. 8 vo.
1898
- E. de Jonquières,
Formules générales donnant des valeurs de D, pour
lesquelles l'équation t2-Du2=-1 est
résoluble en nombres entiers
C. R. 126, 1837-1843.
- E. de Jonquières,
Extension du No. 162 des ``Disquisitiones arithmeticae'' de Gauss
C. R. 127, 596-601.
- P. W. Preobraschensky,
Uebertragung der Theorie der quadratischen Formen auf
complexe Veränderliche (Russian)
X. Vers. Russ. Nat. 331.
1899
- G. Wertheim,
Pierre Fermats Streit mit John Wallis, ein Beitrag zur Geschichte
der Zahlentheorie,
Abh. Gesch. Math. 9, 563
1900
- R. W. D. Christie,
Question 14380
Ed. Times 73, 115-117.
1901
- H. Konen,
Geschichte der Gleichung t2 -Du2 =1
- G. Wertheim,
Über den Ursprung des Ausdruckes ``Pellsche Gleichung''
[Anfrage 95.]
Bibl. Math. (3) 2, 360-361.
1902
- A. Boutin,
Résolution complète de l'équation
x2 - (Am2 + Bm + C)y2 = 1,
où A, B, C sont des entiers, par une infinité
des polynomes en m,
L'Interméd. Math. 9 (1902), 60
- G. Eneström,
Über den Ursprung der Benennung Pell'sche Gleichung,
Bibliotheca Math. (3) 3, 204
1903
- G. Frattini,
Applicazione di un concetto nuovo all' analisi indeterminata
aritmetica e algebrica di 2p grado con una nota
sull'equazione di Pell
Periodico di Mat. (3) 1, 1-15, 57-73.
1905
- A. Aubry,
Théorie de l'équation de Pell
Mathesis (3) 5, 233-239.
1907
- B. Niewenglowski,
Sur les équations x2-ay2=1 et
x2-ay2=-1
S. M. F. Bull. 35, 126-131.
- Auric,
Sur le développement en fraction continue d'une
irrationalité ambiguë du second degré
S. M. F. Bull. 35, 121-125.
1909
- G. Fontené,
Sur un cas particulier de l'équation de Pell
Bull. math. élém. 14, 209-212; 15, 65-66.
- A. Chatelet,
Sur un cas particulier de l'équation de Pell
Bull. math. élém. 14, 307-311.
- G. Frattini,
La nozione d'indice e l'analisi indeterminata dei polinomi interi
Rom. 4. Math. Kongr. 2, 178-182.
- A. Levy,
Sur un cas particulier de l'équation de Pell
Bull. math. élém. 15, 66.
- A. Lévy,
Sur une application de l'éducation de Pell
Bull. math. élém. 15, 165-166.
1911
- F. Ferrari,
Sopra l'equazione di Pell
Suppl. al Period. 14, 69-75.
- A. C. Dixon,
Approximation by means of convergent fractions
Edinb. M. S. Proc. 29, 6-11.
1912
- E. E. Whitford,
The Pell equation
New York: E. E. Whitford. IV + 193 S.
1913
- R. Remak,
Abschätzung der Lösung der Pellschen Gleichung
im Anschluss an den Dirichletschen Existenzbeweis
J. für Math. 143, 250-254.
1914
- O. Perron,
Abschätzung der Lösung der Pellschen Gleichung.
J. für Math. 144, 71-73.
1915
- Th. Schmitz,
Abschätzung der Lösung der Pellschen Gleichung.
Arch. der Math. u. Phys. (3) 24, 87-89.
1922
- G. Métrod,
Suites associées de Pell (question 5036, de A. Cunningham)
Interméd. des math. (2) 1, 21 (1922).
1925
- A. Arwin,
Common solutions of two simultaneous Pell equations
Annals of Math. (2) 23, 307-312 (1923).
- A. Cunningham,
On Pellian chains.
Messenger 52, 161-167 (1923).
1925
- N. Nielsen,
Sur l'opération itérative des équations
de Lagrange
Meddelelser København 6, Nr. 1, 98 S.
- F. Schuh,
Toepassing van kettingbreuken op de vergelijking van Pell
Cristian Huygens 4, 83-123.
- J. Rey Pastor,
Sobre la ecuación de Pell
Revista Mat. hisp.-amer. 7, 149-159.
1926
- D.H. Lehmer,
On the indeterminate equation
t2-p2 Du2= 1,
Annals of Math. (2) 27, 471-476.
- M. von Thielmann,
Zur Pellschen Gleichung
Math. Ann. 95, 635-640.
- K. Petr.
Über die Pellsche Gleichung
Rozpravy 35, Nr. 6, 7 S.
1927
- K. Petr,
Über die Pellsche Gleichung (Czech)
Casopis 56, 57-66.
1928
- D.H. Lehmer,
On the multiple solutions of the Pell equation
Annals of Math. (2) 30, 66-72 (1928).
1929
- K. J. Sanjana,
Aufgabe Nr. 1501. Lösung von K. J. Sanjana
Journal Indian M. S. 18, 18-22 kursiv.
1930
- Th. Vahlen,
Über algebraisch-logarithmische Integration und Pellsche
Gleichungen
Monatshefte f. Math. 37, 135-152.
- A. A. Krishnaswami Aiyangar,
New light on Bhaskara's Chakravaka or cyclic method of
solving indeterminate equations of the second degree in two variables
Journal Indian M. S. 18, 225-248 kursiv.
- A. C. Aitken,
The ``Pellian equation'' and some series for π
Math. Notes Edinburgh 26, XX-XXII.
- G. Candido,
Applicazioni delle funzioni Un e Vn
di Lucas all'analisi indeterminata
[CA] Atti Congresso Bologna 2, 17-23.
1931
- D.M. Mehta,
Theory of simple continued fractions (with special reference to
the history of Indian mathematics)
IV + 164 p. Diss. Heidelberg. Bhavagner, State Print. Press.
- B. Datta,
Bulletin Calcutta M. S. 23, 187-194.
1932
- L. Rédei,
Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der
Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers,
Math. Naturwiss. Anz. Ungar. Akad. d. Wiss. 49 (1932), 338-363
- D. Schepel,
Over de vergelijking van Pell
Proefschrift Groningen 1932, VIII + 114
1933
- T. Nagell,
Über die Lösbarkeit der Gleichung
x2 - Dy2 = -1,
Ark. Mat. Astron. Fys. B 23, No.6 , 1-5
- L. Rédei, H. Reichardt,
Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe
eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers,
J. Reine Angew. Math. 170 (1933), 69-74
1934
- Albarràn, J.
Sobre la ecuación de Pell (Spanish)
Rev. mat. hisp.-amer. (2) 9 (1934), 249-262.
- A. Scholz,
Über die Lösbarkeit der Gleichung
t2 - Du2 = -4,
Math. Z. 39, 95-111
1935
- L.K. Hua,
Note on Pell's equation
Tôhoku Math. Journ. 40, 36.
- S. Iyanaga,
Sur les classes d'idéaux dans les corps quadratiques,
Actual. scient. et industr. 1935, Nr. 197
(Exp. math. VIII), 15 p.
- L. Rédei,
Über die Pellsche Gleichung t2 - du2 = - 1
Journ. f. Math. 173, 193-221.
- L. Rédei,
Ein asymptotisches Verhalten der absoluten Klassengruppe des
quadratischen Zahlkörpers und die Pellsche Gleichung
Jahresbericht D. M. V. 45, 78 kursiv.
- L. Rédei,
Über einige Mittelwertfragen im quadratischen Zahlkörper,
Journ. Reine Angew. Math. 174 (1935), 15-55
- D. Schepel,
Over de vergelijking van Pell
Nieuw Archief (2) 183, 1-30.
1936
- L. Rédei,
Über die Pellsche Gleichung t2 - du2 = -1
(Hungarian)
Math.-nat. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 54, 1-44.
- S. Lubelski,
Zur Gaussschen Kompositionstheorie der binären
quadratischen Formen
J. reine angew. Math. 176, 56-60.
- A.N. Singh,
A review of Hindu mathematics up to the 12th century
Archeion, Roma, 18, 43-62.
1937
- H.D. Grossman,
On the Pell equation
Nat. Math. Mag., Louisiana, 11, 352-353.
- L. Rédei,
Über die D-Zerfällungen zweiter Art
(Hungarian; German summary),
Math.-nat. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 56 (1937), 89-125
- E. Rubinstein,
Géneralisation de l'équation de Pell (Polish)
Wiadom. Mat. 43 (1937), 169-182
1941
- W. Ljunggren,
A note on simultaneous Pell equations (Norwegian)
Norsk Mat. Tidsskr. 23 (1941), 132-138
- L. Rédei,
Zur Gaussischen Theorie der Reduktion binärer
quadratischer Formen
Acta Univ. Szeged. Sect. Sci. Math. 10 (1941), 134-140
1942
- L.K. Hua,
On the least solution of Pell's equation
Bull. Am. Math. Soc. 48 (1942), 731-735
1943
- J. Bucher,
Neues über die Pell'sche Gleichung
Mitteil. Naturforsch. Ges. Luzern 14 (1943), 1-18
- I. Niven,
The Pell equation in quadratic fields
Bull. Am. Math. Soc. 49 (1943), 413-416
- O. Perron,
Über die Berechnung der Grundeinheit in reellen
quadratischen Körpern und Ringen
J. Reine Angew. Math. 185 (1943), 106-110
- L. Rédei,
Über den geraden Teil der Ringklassengruppe quadratischer
Zahlkörper, die Pellsche Gleichung und die Diophantische
Gleichung rx2+sy2=z2n III
(Hungarian. German summary)
Math. Naturwiss. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 62 (1943), 48-62
Online Sources