Sous espaces de dimension finie dans la boule unité et un problème d’interpolation

Some finite-dimensional backward shift-invariant subspaces in the ball and a related interpolation problem

Daniel Alpay et H. Turgay Kaptanoğlu

Rubrique : analyse mathématique.

Résumé : Le théorème de Beurling caractérise les sous espaces de l’espace de Hardy invariants par l’opérateur de multiplication par z en termes de fonctions intérieures. Dans cette note nous considérons le cas où la boule unité remplace le disque unité et l’espace à noyau reproduisant de noyau 1/(1 − ∑_{1}^{N} z_{j}w_{j}^{∗}) remplace l’espace de Hardy et donnons, dans le cas d’espaces de codimension finie, des formules explicites qui généralisent les produits de Blaschke.

Abstract: Beurling’s theorem characterises subspaces of the Hardy space invariant under the forward–shift operator in terms of inner functions. In this note we consider the case where the ball replaces the open unit disk and the reproducing kernel Hilbert space with reproducing kernel 1/(1 − ∑_{1}^{N} z_{j}w_{j}^{∗}) replaces the Hardy space. We give explicit formulas which generalize Blaschke products in the case of spaces of finite codimension.

Abridged English Version: The Hardy space of the open unit disk H_{2}(𝔻) consists of the power series with complex coefficients f(z) = ∑_{0}^{∞} f_{n}z^{n} such that

∥f∥_{H_{2}(𝔻)}^{2} =^{def.} ∑_{0}^{∞} |f_{n}|^{2} < ∞,

and is the reproducing kernel Hilbert space with reproducing kernel \frac{1}{1−zw^{∗}}. Multiplication by the complex variable is an isometry in H_{2}(𝔻) and its invariant subspaces are characterized by Beurling’s theorem: they are the spaces jH_{2}(𝔻), where j is an inner function, i.e. is analytic and contractive in the open unit disk and has boundary values of modulus one almost everywhere on the unit circle. The complementary space H_{2}(𝔻) ⊖ jH_{2}(𝔻) has a number of interesting properties: it is invariant under the backward shift (also called resolvent) operators R_{a}f(z) = \frac{f(z)−f(a)}{z−a} (a ∈ 𝔻). Its reproducing kernel is of the form \frac{1−j(z)j(w)^{∗}}{1−zw^{∗}} and it is finite dimensional if and only if j is a finite Blaschke product, i.e. j(z) = c ∏_{1}^{N} \frac{z−w_{j}}{1−zw_{j}^{∗}} where |c| = 1 and the points w_{j} are in 𝔻. Conversely, any finite dimensional R_{a}–invariant subspace of H_{2}(𝔻) is of the form H_{2}(𝔻) ⊖ jH_{2}(𝔻) for some finite Blaschke product j. When one leaves the open unit disk and goes to the case of several complex variables, a number of options occur, among them we mention the polydisk 𝔻^{N}, the case of compact real Riemann surfaces [6] and the ball. In the case of the polydisk, there are natural counterparts of the operators R_{a}. In fact, there are N families of resolvent operators

R_{a}^{(j)}f(z) = \frac{f(z) − f(z_{1}, …, z_{j−1}, a, z_{j+1}, …, z_{N})}{z_{j} − a}, a ∈ 𝔻.  (1)

Hilbert spaces with a reproducing kernel of the form \frac{1−j(z)j(w)^{∗}}{∏_{1}^{N} (1−z_{j}w_{j}^{∗})} are invariant under

these operators. One of the main conclusions of [4] and [5] is that, when N > 1, there are no finite dimensional reproducing kernel Hilbert space with reproducing kernel of the form \frac{1−j(z)j(w)^{∗}}{∏_{1}^{N} (1−z_{j}w_{j}^{∗})}.

In this note we study the analogues of the resolvent operators and of resolvent invariant spaces in the setting of the ball

𝔹_{N} = {(z_{1}, …, z_{N}) | ∑_{1}^{N} |z_{j}|^{2} < 1} ,

in the reproducing kernel Hilbert space with reproducing kernel 1/(1 − ∑_{1}^{N} z_{j}w_{j}^{∗}).

1. L’espace H_{2}(𝔹_{N}) : Rappelons que l’espace de Hardy de la boule unité a pour noyau reproduisant 1/(1 − zw^{∗})^{N} (où l’on utilise la notation zw^{∗} = ∑_{1}^{N} z_{j}w_{j}^{∗}). L’inégalité au sens des noyaux reproduisants

\frac{1}{(1 − zw^{∗})^{N}} − \frac{1}{1 − zw^{∗}} = (zw^{∗}) (\frac{∑_{0}^{N−2}(1 − zw^{∗})^{k}}{(1 − zw^{∗})^{N}} ) = (∑_{0}^{N−2} \frac{zw^{∗}}{(1 − zw^{∗})^{N−k}} ) ≥ 0

implique que H_{2}(𝔹_{N}) est inclus contractivement dans l’espace de Hardy de la boule unité (voir [13] et [2] pour un résumé des propriétés des fonctions positives et des espaces à noyau reproduisant associés). En utilisant la série \frac{1}{1−zw^{∗}} = ∑_{ℓ=0}^{∞}(zw^{∗})^{ℓ} on obtient la description de H_{2}(𝔹_{N} comme l’ensemble des séries

f(z_{1}, z_{2}, …, z_{N}) = ∑_{\begin{matrix}(n_{1},n_{2},... ,n_{N})∈ℕ^{N} \\ n_{1}+n_{2}+···+n_{N} =n \end{matrix}} a_{n_{1},n_{2},... ,n_{N}} z_{1}^{n_{1}}z_{2}^{n_{2}} ⋯ z_{N}^{n_{N}}

muni la norme

∥f∥_{H_{2}(𝔹_{N})} = \sqrt{∑_{\begin{matrix}(n_{1},n_{2},... ,n_{N})∈ℕ^{N} \\ n_{1}+n_{2}+···+n_{N} =n \end{matrix}} \frac{|a_{n_{1},n_{2},... ,n_{N}} |^{2}}{(\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!···n_{N}!})}} .

Le noyau k(z, w) = \frac{1}{1−zw^{∗}} est tel que 1/k(z, w) a un seul carré positif. Soit H(k) l’espace à noyau reproduisant associé à un tel noyau. On sait (voir [8], [10]) que les sous espaces invariants par multiplication par toutes les variables sont de la forme BH(k)^{n×1}, où n peut être infini. Ces résultats pour le cas \frac{1}{1−zw^{∗}} sont dus à Arveson [7]. Les résultats de la note concernent le cas d’espaces de codimension finie. On peut alors être beaucoup plus explicite et les preuves sont, dans le cadre des espaces à noyau reproduisant, élémentaires. Nous faisons aussi le lien avec le problème de Gleason et les automorphismes de la boule unité.

2. Les opérateurs résolvants : Les opérateurs (1) ne sont pas bornés dans H_{2}(𝔹_{N}), mais les opérateurs de multiplication par les variables sont bornés.

Proposition 1 soit a ∈ 𝔹_{N}. L’opérateur de multiplication M_{za^{∗}} par za^{∗} est une contraction stricte de H_{2}(𝔹_{N}) dans lui–même et ∥M_{za^{∗}}∥ = \sqrt{aa^{∗}}.

Il suffit d’écrire

\frac{aa^{∗} − (za^{∗})(aw^{∗})}{1 − zw^{∗}} = aa^{∗} + \frac{z ((aa^{∗})I_{N} − a^{∗}a) w^{∗}}{1 − zw^{∗}} .

et de remarquer que la matrice (aa^{∗})I_{N} − a^{∗}a est positive et donc que la fonction z ((aa^{∗})I_{N} − a^{∗}a) w^{∗} est positive dans la boule unité. On en déduit le résultat puisque les produits et les sommes de fonctions positives sont encore positifs.

Les opérateurs

(T_{j}(a)) f(z) = \frac{z_{j}f(z)}{1 − za^{∗}}

sont donc bornés dans H_{2}(𝔹_{N}). Définition 2 L’opérateur T_{j}(a)^{∗} est appelé le j-ème opérateur résolvant dans H_{2}(𝔹_{N}) au point a. Pour N = 1 et a = 0, on a (T_{1}(0)f)(z) = zf(z) et son adjoint est l’opérateur R_{0} de déplacement à gauche dans H_{2}(𝔻).

Théorème 3 Soit f ∈ H_{2}(𝔹_{N}) et a ∈ 𝔹_{N}. On a

f(z) − f(a) = ∑_{1}^{N}(z_{j} − a_{j}) (T_{j}(a)^{∗}f) (z).  (2)

Le problème de trouver des fonctions g_{j} telles que

f(z) − f(a) = ∑_{1}^{N}(z_{j} − a_{j})g_{j}(z),

les g_{j} et f étant dans la même famille est le problème de Gleason, formulé par Gleason dans l’algèbre de la boule unité (voir [12, pages 114–115]). Ce problème a été résolu par Ahern et Schneider [1] et Leĭbenzon (voir [9]) dans différentes classes de fonctions. Il est ici résolu dans l’espace H_{2}(𝔹_{N}).

Les fonctions propres communes à tous les opérateurs T_{j}(a)^{∗} sont exactement les noyaux \frac{1}{1−za^{∗}} avec a ∈ 𝔹_{N}. Un résultat similaire existe dans le cadre du polydisque (voir [5]) et dans le cadre des surfaces de Riemann compactes réelles (voir [6]).

3. Facteurs de Blaschke : Soit a un point dans le disque unité et soit f ∈ H_{2}(𝔻). Il est bien connu que

f(a) = 0 ⟺ f(z) = \frac{z − a}{1 − za^{∗}} u(z)

où u ∈ H_{2}(𝔻) et u et f ont la même norme. Un tel résultat n’existe pas dans le cadre du polydisque. Dans le cadre de H_{2}(𝔹_{N}) nous présentons maintenant l’analogue du facteur de Blaschke. Cela nous permet d’étudier l’ensemble des fonctions de H_{2}(𝔹_{N}) s’annulant en un point donné. Proposition 4 Soit a ∈ 𝔹_{N}. La fonction b_{a} : 𝔹_{N} → ℂ^{1×N} définie par

b_{a}(z) = \frac{(1 − aa^{∗})^{1/2}}{1 − za^{∗}} (z − a)(I_{N} − a^{∗}a)^{−1/2}  (3)

satisfait

\frac{1 − b_{a}(z)b_{a}(w)^{∗}}{1 − zw^{∗}} = \frac{1 − aa^{∗}}{(1 − za^{∗})(1 − w^{∗}a)}, z, w ∈ 𝔹_{N}.  (4)

En particulier, nous avons b_{a}(z)b_{a}(z)^{∗} < 1 si zz^{∗} < 1 et b_{a}(z)b_{a}(z)^{∗} = 1 si zz^{∗} = 1.

On a

b_{a}(z) = −\frac{a − \frac{za^{∗}}{aa^{∗}} a − (1 − aa^{∗})^{1/2}(z − \frac{za^{∗}}{aa^{∗}} a)}{1 − za^{∗}},  (5)

ce qui exprime b_{a}(z) comme un automorphisme de la boule unité et l’on retrouve la formule de Rudin [12, Theorem 2.2.2. p. 26]. Lorsque N = 1, on retrouve le facteur de Blaschke classique. On peut écrire aussi b_{a}(z) de la manière suivante :

b_{a}(z) = −a + (1 − aa^{∗})^{1/2}z(1 − za^{∗})^{−1}(I_{N} − a^{∗}a)^{1/2}.  (6)

et la matrice ( \begin{matrix}a^{∗} & (I_{N} −a^{∗}a)^{1/2} \\ (1−aa^{∗})^{1/2} & −a \end{matrix} ) est unitaire.

Le lien avec les facteurs de Blaschke est renforcée par le résultat suivant :

Proposition 5 Soient a ∈ 𝔹_{N} et f ∈ H_{2}(𝔹_{N}). Alors,

f(a) = 0 ⟺ f(z) = b_{a}(z)u(z) où u ∈ H_{2}(𝔹_{N})^{N×1}.

Plus généralement, la version tangentielle de ce résultat est : Proposition 6 Soient c ≠ 0 ∈ ℂ^{1×n} et a ∈ 𝔹_{N}. Soit f ∈ H_{2}(𝔹_{N})^{n×1}. On a :

cf(a) = 0 ⟺ f(z) = B(z)u(z)

où u est un élément arbitraire de H_{2}(𝔹_{N})^{(N+n−1)×1} et où B est donné par la formule

B(z) = U ( \begin{matrix}b_{a}(z) & 0_{1×(n−1)} \\ 0_{(n−1)×N} & I_{n−1} \end{matrix} ) ,  (7)

U étant une matrice unitaire arbitraire dont la première colonne est égale à c^{∗}. Pour N = 1, la fonction B est carrée (c’est–à–dire à valeur dans ℂ^{n×n}) et on retrouve les versions matricielles des facteurs de Blaschke introduites par V. Potapov [11].

4. Interpolation : Le problème d’interpolation que nous considérons est le suivant :

Problème 7 Étant donnés des points a_{1}, …, a_{M} ∈ 𝔹_{N} et des vecteurs c_{1}, …, c_{M} ∈ ℂ^{1×n}, décrire l’ensemble des fonctions f ∈ H_{2}(𝔹_{N})^{n×1} telles que

c_{j}f(a_{j}) = 0, j = 1, …, M.  (8)

Théorème 8 L’ensemble des solutions du problème 7 est de la forme f(z) = B(z)u(z) où B(z) est une fonction rationnelle et à valeurs dans ℂ^{n×(n+k(N−1))} (k est un entier qui dépend des données d’interpolation et k ≤ M). De plus, B(z)B(z)^{∗} = I_{n} sur la sphère unité.

On obtient ce résultat par récurrence en utilisant la Proposition (6).

On traite de même des problèmes où les dérivées interviennent :

c_{0}f(a_{0}) = 0
c_{0}f^{(1)}(a_{0}) + c_{1}f(a_{0}) = 0
⋮
c_{0}f^{(n)}(a_{0}) + ⋯ + c_{n}f(a_{0}) = 0.

La fonction B qui apparaît dans le théorème est un produit fini de fonctions de la forme (7), que nous appellerons produit de Blaschke. Lorsque N = 1, nous avons n + k(N − 1) = n et obtenons les produits de Blaschke rationnels à valeurs matricielles et la solution du problème d’interpolation dans H_{2}(𝔻) (voir [3]).

5. Espaces à noyau reproduisant : Soit B comme dans la section précédente. On a la décomposition du noyau \frac{1}{1−zw^{∗}} en somme de deux noyaux positifs

\frac{I_{n}}{1 − zw^{∗}} = \frac{I_{n} − B(z)B(w)^{∗}}{1 − zw^{∗}} + \frac{B(z)B(w)^{∗}}{1 − zw^{∗}} ,

qui mène à la décomposition orthogonale

H_{2}(𝔹_{N})^{n×1} = (H_{2}(𝔹_{N}) ⊖ BH_{2}(𝔹_{N})^{n+k(N−1)}) ⊕ BH_{2}(𝔹_{N})^{n+k(N−1)}.

Rappelons qu’en général, les décompositions de noyau en somme de noyaux positifs ne donnent pas lieu à des décompositions orthogonales des espaces associés.

6. Conclusions : Nous avons mis en évidence l’analogue de l’opérateur de déplacement à gauche et des produits de Blaschke dans le cas de l’espace H_{2}(𝔹_{N}). Ces notions semblent nouvelles et suggèrent de considérer pour H_{2}(𝔹_{N}) toute une gamme de problèmes (par exemple, des problèmes d’interpolation) posés à l’origine dans l’espace de Hardy du disque H_{2}(𝔻). La définition et résolution de tels problèmes dans le cadre de l’espace de Hardy de la boule restent à faire.

Références

[1] P. R. Ahern and R. Schneider. Isometries of H^{∞}. Duke Math. J., 42 :321–326, 1975.

[2] D. Alpay. Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et théorie des systèmes, volume 6 of Panoramas et Synthèses. Société Mathématique de France, Paris, 1998.

[3] D. Alpay and V. Bolotnikov. Two-sided interpolation for matrix functions with entries in the Hardy space. Linear Algebra Appl., 223/224 :31–56, 1995. Special issue honoring Miroslav Fiedler and Vlastimil Pták.

[4] D. Alpay, V. Bolotnikov, A. Dijksma, J. Rovnyak, and C. Sadosky. Espaces de Hilbert inclus contractivement dans l’espace de Hardy du bi-disque. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 326(12) :1365–1370, 1998.

[5] D. Alpay, V. Bolotnikov, A. Dijksma, and C. Sadosky. Hilbert spaces contractively included in the Hardy space of the bidisk. To appear in Positivity.

[6] D. Alpay and V. Vinnikov. Analogues d’espaces de de Branges sur des surfaces de Riemann. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 318 :1077–1082, 1994.

[7] W. Arveson. The curvature invariant of a Hilbert module over ℂ[z_{1}, ⋯, z_{d}]. J. Reine Angew. Math., 522 :173–236, 2000.

[8] D. Greene, S. Richter, and C. Sundberg. The structure of inner multipliers on spaces with complete Nevanlinna–Pick kernels. Preprint.

[9] G. M. Henkin. The approximation of functions in pseudo-convex domains and a theorem of Z. L. Leĭbenzon. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 19 :37–42, 1971.

[10] S. McCullough and T.T. Trent. Invariant subspaces and Nevanlinna–Pick kernels. Preprint.

[11] V.P. Potapov. The multiplicative structure of J-contractive matrix–functions. Trudy Moskow. Mat. Obs., 4 :125–236, 1955. English translation in : American mathematical society translations (2), vol. 15, p. 131–243 (1960).

[12] W. Rudin. Function theory in the unit ball of ℂ^{n}. Springer–Verlag, 1980.

[13] S. Saitoh. Theory of reproducing kernels and its applications, volume 189. Longman scientific and technical, 1988.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary : 47A57 ; Secondary : 32A70.

Daniel Alpay Department of Mathematics Ben-Gurion University of the Negev Beer-Sheva 84105, Israel

H. Turgay Kaptanoğlu Mathematics Department Middle East Technical University Ankara 06531 Turkey