DİNAMİK SİSTEMLER, GARİP ÇEKERLER VE KAOS

H. Turgay Kaptanoğlu ^{∗}

A. Dinamik Sistem Nedir?

Hesap makineniz var mı? Varsa hemen şimdi açın ve sizinle kolay bir deney yapalım. Aklınıza gelen ilk sayıyı yazın ve üzerinde sin, cos, x^{2} , e^{x} yazılı düğmelerden birine üst üste basın. Bir ayrık dinamik sistem elde ettiniz. Seçtiğiniz düğme e^{x} ise ve yazdığınız sayıyı x ile gösterirsek, elde edeceğiniz sayılar

x, e^{x}, e^{e^{x}}, e^{e^{e^{x}}} , …

olacaktır. (Bilindiği gibi e doğal logaritmanın tabanı olan yaklaşık 2.718281828459045 ⋯ sayısıdır.) Yapılan, e tabanlı üstel fonksiyon u(x) = e^{x} ’i yinelemektir; diğer bir deyişle u’nun kendisiyle bileşkesini tekrar tekrar almaktır. Yeteri kadar tekrarlandığında, hangi x ile başlanırsa başlansın, bu deney hesap makinesinin kapasitesinin aşılması ile son bulacaktır; yani e^{x} fonksiyonunun yinelemeleri sonsuza gider. Elde ettiğiniz sayıları

x, u(x), u(u(x)), u(u(u(x))), …

diye de yazabilirsiniz. Bu diziye x’in u altındaki yörüngesi adı verilir. Hesap makineniz dört işlemden fazlasını yapamıyorsa, seçtiğiniz x’i hep aynı sayıyla tekrar tekrar çarpmayı deneyebilirsiniz; sonuç değişmeyecektir.

e^{x} yerine sin düğmesini kullanırsanız, hangi sayıyla başlarsanız başlayın, elde edilen değerlerin hızla sıfıra doğru gittiğini göreceksiniz. cos kullanırsanız, değerler radyan ölçüsüyle 0.73909 ⋯’a, derece ölçüsüyle 0.99985 ⋯’e yakınsayacaktır. Bu örnekler belki size, hangi fonksiyonu ve hangi başlangıç sayısını ele alırsak alalım, yinelemelerinin her defasında düzenli bir şekilde bir sayıya (veya sonsuza) yakınsadığı fikrini verebilir. Neyse ki durum hep böyle değildir. (Aksi halde bu yazıyı yazmaya gerek kalmazdı.) e^{x} veya sin’den çok daha basit fonksiyonlar, örneğin bir ikinci derece polinom olan

F_{μ}(x) = μx(1 − x), çok daha ilginç davranış gösterir yineleme altında. Bunu görmek için μ = 4 koyup 0 ile 1 arasında rastgele x’ler seçerek fonksiyonu tekrar tekrar uygulayın. (Programlı bir hesap makinesi veya bir bilgisayar işinizi çabuklaştıracaktır.) Pek çok x’in yörüngesinin anlaşılır hiç bir kurala bağlı kalmadan [0, 1] aralığında rastgele dolandığını göreceksiniz. Şimdi 4 yerine 3.835 koyarak F_{μ} ’yu yineleyin. Bu sefer, 0 ile 1 arasındaki pek çok x’in yörüngesinin, ama hepsinin değil, birbiri ardından tekrarlanan üç sayılık bir çevrime, 0.15207 ⋯, 0.49451 ⋯, 0.95863 ⋯’a ulaştığını göreceksiniz.

e^{x} ile F_{μ} ’nun davranışları arasındaki farkın nedenini görmenin en kolay yolu grafiklerini göz önüne getirmektir. e^{x} tekdüze artandır ve her başlangıç değerinin yörüngesi eninde sonunda sonsuza kaçar. Fakat F_{μ} ’nun [0, 1] aralığında önce artan ve sonra azalan olması, bu aralıktaki noktaların yörüngelerin sınırsız büyümesini önler. Tabii grafiği bu tip olan tek fonksiyon F_{μ} değildir, ama F_{μ} ’nun gerçekten ilginç olduğu aşağıda görülecektir. Gene de bazı özellikler için önemli olan fonksiyonun ne olduğu değil, bu aralıktaki maksimum değeridir.

Dergimizin bu sayısındaki problemlerden biri (Y84) x ve g(x) reel sayılar olmak üzere, g(g(x)) = −x denkliğini sağlayan bir g fonksiyonu olup olmadığını soruyor. Burada işi zorlaştıran g(x)’in reel sayı olması şartıdır. Bu şart olmadan, sanal i = \sqrt{−1} sayısını kullanan g(x) = ix işi görür. Benzer şekilde, h(h(x)) = \frac{1}{x} denklemini sağlayan reel değerli bir h fonksiyonu bulunabilir mi? Her iki fonksiyonun dört kere yinelenmesi, her x için bize tekrar x’i verir. Bir başka deyişle, g ve h her noktada periyodu 4 olan bir çevrim meydana getirir.

B. Neden Biyologlar da Matematik Bilmeli?

Şimdi F_{μ} ’nun biyolojideki bir uygulamasına bakarak dinamik sistemlerin başka bilim

7

∗ ODTÜ Matematik Bölümü öğretim üyesi

KAPTANOĞLU

dallarında da ortaya çıktığını görelim. Bir bölgedeki bir yaban hayvanı türünün nüfusunu incelemek istiyoruz. Bu pek çok etmene bağlıdır: yiyecek miktarı, iklimin sertliği, bu türü avlayan diğer türlerin varlığı, …. Bu etmenler altında ele aldığımız türün nüfusu azalabilir, hatta tür o bölgede yok olabilir; kontrolsüz şekilde artabilir; veya iniş-çıkışlar gösterebilir. Bizim amacımız, bir başlangıç nüfusu verildiğinde uzun vadede olacakları tahmin edebilmek.

Şimdi bu isteğimizi matematiksel bir model haline getirelim. N_{0} başlangıçtaki hayvan sayısı, N_{n} ise n nesil sonraki sayı olsun. En basit şekilde, ne kadar çok hayvan varsa, türün o derece hızlı çoğalacağını kabul edebiliriz. Yani

N_{1} = μN_{0}
N_{2} = μN_{1} = μ^{2}N_{0}
⋮
N_{n} = μN_{n−1} = μ^{n}N_{0}
⋮

diyebiliriz. Burada μ, türün yavrulama oranı ile bağlantılı pozitif bir sabittir. Eğer μ > 1 ise nesiller geçtikçe N_{n} sürekli artacaktır ve 0 < μ < 1 ise sıfıra inecektir.

N_{n} ’ler arasındaki bağıntıyı bir fonksiyonla da gösterebiliriz. x = N_{0} ve f(x) = μx dersek,

f(x) = N_{1}, f(f(x)) = N_{2}, f(f(f(x))) = N_{3}, …

olacaktır. Yani türün uzun vadedeki nüfusu, f fonksiyonunun yinelenmesinin asimtotik davranışıyla ilişkilidir.

Bu modelin basitliği bazı sakıncaları da beraberinde getirir; örneğin hayvan türü için uzun vadede topu topu iki ihtimal bulunduğunu söyler: μ > 1 ise hiç durmadan artış ve 0 < μ < 1 ise soyun tükenmesi. Çoğu durumda böyle olmadığı bellidir. Bazı kısıtlamalar koyarak gerçeğe daha uygun modeller elde edebiliriz. İlk akla gelebilecek fikir, meselâ bölgedeki yiyecek miktarının sabit kalması yüzünden, hayvan nüfusunun belirli bir S sınırının üzerine çıkamayacağıdır. Ama N_{n} < S olduğu sürece, hâlâ yeterli yiyecek olduğundan, hayvan nüfusu artmaya devam edecektir. Hatta S = 1 alabiliriz. N_{n} o zaman S sınır değerinin yüzdesidir. Bu istediklerimizi sağlayan en basit matematiksel model

N_{n+1} = μN_{n}(1 − N_{n})

denkliğidir; μ gene pozitif bir sayıdır. N_{n} bire yaklaşırsa, N_{n} veya (1 − N_{n})’den biri küçük olacak ve bir sonraki nesilde nüfusun azalmasını sağlayacaktır.

Yukarıda yaptığımız gibi bu bağıntıyı da bir fonksiyonun yinelenmesi olarak görebiliriz. x = N_{0} ve F_{μ}(x) = μx(1 − x) dersek, gene N_{1} = F_{μ}(x), N_{2} = F_{μ}(F_{μ}(x)), … olur. Sonunda F_{μ} fonksiyonunu elde ettik.

İleride kullanmayacaksak da, yukarıdaki iki modeli diferansiyel denklem şeklinde de açıklayalım. Tabii şimdi hayvan nüfusunu nesilden nesile değil de, zamanla sürekli değişen bir N çokluğu olarak görmek zorundayız. O zaman N_{n+1} = μN_{n} ve N_{n+1} = μN_{n}(1 − N_{n}) yerine sırasıyla

\frac{dN}{dt} = μN  ve  \frac{dN}{dt} = μN(S − N)

gelir. Burada t zamandır ve μ pozitif veya negatif bir reel sayı olabilir. \frac{dN}{dt} nüfusun artış (veya azalış) hızı demektir. N_{0} = N(0) başlangıç nüfusu ise, yukarıdaki diferansiyel denklemlerin çözümleri

N(t) = N_{0}e^{μt} ve N(t) = \frac{SN_{0}e^{Sμt}}{S − N_{0} + N_{0}e^{Sμt}}

şeklindedir.

İlk denklemde μ > 0 ise, zaman ilerledikçe (t → ∞), N(t) sürekli artar (N(t) → ∞); μ > 0 ise sürekli azalır (N(t) → 0). İkinci denklemde μ pozitif iken, N = S ise, \frac{dS}{dt} = 0; N > S ise, \frac{dS}{dt} < 0; ve N < S ise \frac{dS}{dt} > 0 olur. Bunlar da sırasıyla, sabit kalan, azalan ve artan nüfusa karşılık gelirler. Yani, nüfus S ’nin altında kalmaya zorlanarak kendini dengeler. Yalnız N_{n+1} = μN_{n}(1 − N_{n}) modelini ilginç kılan çevrimsel davranış artık görülmez.

Dinamik sistemlere bir örnek daha verelim. Bir P (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} polinomunun derecesi n = 1 veya 2 ise, polinomun köklerini bulmak çok kolaydır; 3 veya 4 ise, kökleri veren formüller vardır, fakat bunları kullanmak zordur; 5 veya daha yüksekse, kökleri veren formüller bile bulmanın imkânsız olduğu gösterilmiştir. Newton metodu, son iki durumda kökleri yaklaşık olarak bulmamızı sağlar. x_{0} bir reel sayı olsun.

x_{1} = x_{0} − \frac{P (x_{0})}{P′(x_{0})}
x_{2} = x_{1} − \frac{P (x_{1})}{P′(x_{1})}

8

⋮
x_{n} = x_{n−1} − \frac{P (x_{n−1})}{P′(x_{n−1})}
⋮

yinelgen işleminin verdiği x_{0}, x_{1}, …, x_{n}, … dizisi, x_{0} ’in çoğu değeri için P ’nin köklerinden birine yakınsar. Görüldüğü gibi bu metot,

K(x) = x − \frac{P (x)}{P′(x)}

fonksiyonunun yinelemelerinden oluşan bir dinamik sistemdir, P′(x) ≠ 0 olduğu sürece. Burada da anlaşılmak istenen K(x)’in değişik x’ler için yinelemelerinin nereye varacağı ve hangi x_{0} ’lar için metodun bir köke yakınsamadığıdır.

C. F_{μ}(x) = μx(1 − x)

Bu fonksiyonun önemi nüfus hareketlerini açıklamakla bitmiyor. Dinamik sistemlerin pek çok özelliğini de en basit haliyle gözler önüne sermekte. O yüzden bu yazının büyük kısmı bu fonksiyonun incelenmesine ayrıldı. Aslında elimizde bir değil, sonsuz sayıda fonksiyon var her reel μ’ya karşılık gelen.

Yukarıda da yaptığımız gibi yalnız I = [0, 1] kapalı aralığındaki x’lerle ilgileneceğiz. Sürekli olması F_{μ} ’nun bu aralıkta maksimum ve minimum değerlerini alacağını, türevli olması ise bu değerlere ya aralığın uçnoktalarında, ya da türevinin 0 olduğu noktalarda ulaşacağını söyler. F_{μ}(x) = μx − μx^{2} ve türevi F′_{μ}(x) = μ − 2μx’tir. F′_{μ}(x) = 0, μ’dan bağımsız olarak yalnız x = \frac{1}{2} noktasında gerçekleşir. Bütün μ’lar için, F_{μ}(0) = F_{μ}(1) = 0 ve F_{μ}(\frac{1}{2}) = \frac{μ}{4} ’tür; ve bunlar F_{μ} ’nun minimum ve maksimum değerleridir, çünkü μ > 0. Fonksiyonu yineleyebilmek, yani F_{μ}(F_{μ}(x))’i hesaplayabilmek için, F_{μ}(x)’in de I ’da olması gerekir. Bu da μ’nun 0 ile 4 arasında olmasını gerektirir.

Her ikisi de 0 ile 1 arasında olduklarından, x ve F_{μ}(x) birbirlerine eşit olabilirler. Böyle bir x noktasına F_{μ} fonksiyonunun sabit noktası denir. μx − μx^{2} = x ikinci derece denklemini çarpanlarına ayırarak çözer ve x = 0 ve

(†)  x = \frac{μ − 1}{μ}

elde ederiz. 0 her μ için sabit noktadır, fakat x^{∗} diyeceğimiz diğer x değeri yalnız μ > 1 iken I ’dadır. Zaten F_{μ}, ancak μ > 3 iken ilginç olmaya başlar. μ = 2.8 için x^{∗} = \frac{1.8}{2.8} = 0.64286 ⋯ bulunur. Bu noktayı bulmanın en kolay yolu, F_{μ} ’nun grafiği ile y = x doğrusunu kesiştirmektir, çünkü orada y = F_{μ}(x^{∗}) = x^{∗}. Sabit noktaların yörüngeleri tek bir noktadan oluşur, kendileri. 1’in yörüngesinde ise yalnız 1 ve 0 vardır.

Şekil 1 (μ = 2.8)

Bu iki sabit nokta arasında temel bir fark vardır. Bunu görmek için, 0’a çok yakın bir noktanın, örneğin x_{0} = 0.05’in yörüngesine bakalım. Gereğinden fazla hesaba boğulmamak için Şekil 1’deki grafik yöntemini kullanacağız. Okuyucu hesap makinesi ile yapılanları kontrol etmelidir. x = x_{0} ’da çizilen dikey bir doğru F_{μ} ’nun grafiğini y_{0} = F_{μ}(x_{0}) yüksekliğinde keser. F_{μ}(F_{μ}(x_{0})) = F_{μ}(y_{0})’ı bulmak için, x = y_{0} ’da dikey bir doğru çizmek gerekir. Bu noktayı ise y_{0} yüksekliğinde yatay olarak y = x doğrusunu kestiğimiz noktaya kadar ilerleyerek buluruz; burada x = y = y_{0} . Bu yeni x değerine x_{1} diyelim; x_{1} = F_{μ}(x_{0}). Şimdi x = x_{1} ’de dikey yönde çizeceğimiz doğru F_{μ} ’nun grafiğini y_{1} = F_{μ}(x_{1}) = F_{μ}(y_{0}) = F_{μ}(F_{μ}(x_{0}))’da kesecektir. Böylece F_{μ} ’yu yinelemiş olduk. μ = 2.8 için x_{1} = y_{0} = 0.133 ve y_{1} = 0.32287 ⋯’dir. Bundan sonra sırayla yatay ve dikey yönde gitmeye devam ederiz. Görüldüğü gibi, 0’a çok yakın bir yerden bile başlasak, x_{0} ’in yörüngesi, etrafında dönerek x^{∗} ’a yaklaşır, ona hiç bir zaman ulaşamasa da [6]. Işığın etrafinda uçuşan böcekler geliyor akla. 0, 1 ve x^{∗} dışındaki bütün başlangıç değerleri için böyledir. F_{μ}(x)’in n kere yinelenmiş halini F_{μ}^{n}(x) ile gösterelim; örneğin F_{μ}^{2}(x) = (F_{μ} ∘ F_{μ})(x) = F_{μ}(F_{μ}(x)) = μ^{2}x(1 − x)(1 − μx(1 − x)). Bu gösterim F_{μ} ’nun n’nci kuvveti (F_{μ}(x))^{n} ’den farklıdır. Yukarıdaki

9

cümleyi şimdi

lim_{n→∞} F_{μ}^{n}(x) = x^{∗} (x ≠ 0, x ≠ 1)

diye yazabiliriz. Yani x^{∗} çeken ve 0 iten sabit noktalardır. Bu fark nereden kaynaklanır? Grafiğe dikkatle bakılırsa, 0’da F_{μ} ’nun grafiğinin y = x doğrusundan daha dik olduğu görülür; x^{∗} ’daysa tersi doğrudur. Burada diklikten kasıt, F_{μ} ’nun grafiğine teğet olarak çizilen bir doğrunun eğiminin mutlak değeridir; teğetin yönü önemli değildir. y = x doğrusunun dikliği her yerde 1’dir. Bir noktadaki türev o noktadaki eğimi verdiğinden, |F′_{μ}(0)| = μ = 2.8 > 1 ve |F′_{μ}(x^{∗})| = |2 − μ| = 0.8 < 1, bize μ = 2.8 için neden 0’in iten ve x^{∗} ’ın çeken olduğunu gösterir.

μ’yu artırdığımızda ilginç bir durumla karşılaşırız. F_{μ} ’nun maksimum değeriyle birlikte |F′_{μ}(x^{∗})| da artar ve μ = 3 = M_{0} iken 1’i geçer. Şimdi μ = 3.2 > M_{0} olduğunda Şekil 2’den F_{μ} ’nun grafiğinin ve yinelemelerinin neler verdiğine bakalım. x = 0.05 başlangıç noktasının yörüngesi önce x^{∗} ’a yaklaşır, fakat sonra onun iki yanındaki x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗} diyeceğimiz iki noktanın civarında gidip gelmeye başlar. Yani x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗}, periyodu 2 olan bir çevrim meydana getirirler. Bu noktalar gene çeker olarak adlandırılırlar, çünkü yakınlarındaki noktaları diğerinin etrafına gönderseler de, ikisi birlikte uzaktaki noktaları üzerlerine çekerler.

Bu ikili çevrimi daha iyi anlamanın yolu F_{μ}^{2} ’nun grafiğine bakmaktır. F_{μ} ’nun sabit noktaları F_{μ}^{2} ’nun da sabit noktalarıdır, çünkü F_{μ}(F_{μ}(0)) = F_{μ}(0) = 0 ve F_{μ}(F_{μ}(x^{∗})) = F_{μ}(x^{∗}) = x^{∗}. Ama şimdi iki sabit nokta daha vardır; x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗}, çünkü F_{μ}(F_{μ}(x_{1}^{∗})) = F_{μ}(x_{2}^{∗}) = x_{1}^{∗} ve F_{μ}(F_{μ}(x_{2}^{∗})) = F_{μ}(x_{1}^{∗}) = x_{2}^{∗}. F_{μ}^{2} ’nun derecesi 4 olduğundan başka yoktur. İlk iki sabit nokta sayesinde F_{μ}^{2}(x) − x polinomunu çarpanlarına ayırıp diğer ikisini de buluruz:

(‡) x_{1,2}^{∗} = \frac{(μ + 1) ∓ \sqrt{(μ + 1)(μ − 3)}}{2μ}.

μ = 3.2 için x^{∗} = \frac{2.2}{3.2} = 0.6875, x_{1}^{∗} = 0.51304 ⋯ ve x_{2}^{∗} = 0.79946 ⋯’dır. 0’la birlikte bu dört nokta F_{μ}^{2} ’nun grafiğinin y = x doğrusunu kestiği yerlerdir. 0 ve x^{∗} ’da grafik y = x’ten daha diktir; diğerlerinde değildir. Bu da 0 ve x^{∗} ’ın iten, x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗} ’ın çeken olduğunu söyler. Hatta, türevde zincir kuralından, (F_{μ}^{2})′(x_{1}^{∗}) = F′_{μ}(F_{μ}(x_{1}^{∗}))F′_{μ}(x_{1}^{∗}) = F′_{μ}(x_{2}^{∗})F′_{μ}(x_{1}^{∗}) = F′_{μ}(x_{2}^{∗})F′_{μ}(F_{μ}(x_{2}^{∗})) = (F_{μ}^{2})′(x_{2}^{∗}); yani F_{μ}^{2} ’nun x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗} ’daki eğimleri eşittir.

Şekil 2 (μ = 3.2)
x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗}, μ > M_{0} olduğunda ortaya

çıkarlar. Tam μ = M_{0} iken x^{∗} = x_{1}^{∗} = x_{2}^{∗}. Bir başka deyişle, μ M_{0} ’ı geçerken periyodu 1 olan çeker periyodu 2 olan bir çevrime parçalanır. μ arttıkça da x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗} birbirinden uzaklaşırlar. Aynı zamanda, F_{μ}^{2} ’nun bu noktalardaki dikliği önce azalır, fakat sonra artar ve diyelim μ = M_{1} ’de y = x doğrusununkini geçer. x_{1}^{∗} ve x_{2}^{∗} ’nin her biri aynı anda kendi ikili çevrimlerini doğurur. Tabii bunlar F_{μ}^{2} için ikili çevrimlerdir; F_{μ} için hepsi birden periyodu 4 olan bir çevrimdir. M_{1} değerini (F_{μ}^{2})′(x_{1}^{∗}) = −1 eşitliğini çözerek buluruz. Uzun ve sıkıcı hesaplardan sonra bir ikinci derece denklemin çözümlerinden biri olarak M_{1} = 1 + \sqrt{6} = 3.44949 ⋯ çıkar. F_{μ} ’nun bu dörtlü çevriminin her noktası F_{μ}^{4} ’nun birer sabit

10

noktasıdır. F_{μ}^{4} ’nun F_{μ}^{2} ve F_{μ} ’dan gelen 4 sabit noktası daha vardır. İlk 4 nokta çeker, diğerleri iter. Şekil 3’te μ = 3.5 için F_{μ}^{4} ’nun 8 sabit noktası görülüyor.

Şekil 3 (μ = 3.5)

Bundan sonra neler olacağını tahmin etmek zor olmasa gerek. μ çok az daha artırıldığında F_{μ}^{4} ’nun çeken sabit noktalarındaki dikliği, μ = M_{2} = 3.54409 ⋯’da aynı anda 1’i geçer ve F_{μ} için bir sekizli çevrim elde edilir. Bir sonraki parçalanma μ = M_{3} = 3.56441 ⋯’de, ondan sonraki μ = M_{4} = 3.56876 ⋯’da, bunu takip eden de μ = M_{5} = 3.56969 ⋯’da meydana gelir, ve sırasıyla on altılı, otuz ikili ve altmış dörtlü çevrimler ortaya çıkar. Yalnız artık bu değerleri, polinomların derecesi yükseldiği için bir denklem çözerek elde etmek ya çok güçtür, ya da imkânsızdır. Ama M_{2} , M_{3} , M_{4} ve M_{5} , programlı bir hesap makinesi veya bir bilgisayar kullanılarak yineleme ile bulunabilir. Mesela, M_{2} ’nin tahmini değerinden biraz küçük bir μ alınır ve rastgele bir x başlangıç sayısı girilerek, yineleme ile F_{μ} ’nun dörtlü çevrimi bulunur. x = 0.5 kullanmak yararlıdır, çünkü F_{μ} ’nun maksimum noktasıdır ve her μ’da mutlaka çeken bir çevrime ulaşacağı gösterilebilir. Sonra μ yavaş yavaş artırılarak yineleme tekrarlanır ve F_{μ} ’nun dörtlü çevriminin hangi μ’da sekizli çevrime parçalandığı gittikçe daha hassas olarak bulunur. Bulunan değer M_{2} ’dir. M_{3} , M_{4} ve M_{5} için de aynı yöntem işler.

Dikkat edilirse, M_{k} değerleri k artırıldığında artmalarına rağmen birbirlerine yaklaşırlar ve

M_{∞} = 3.569945671868 ⋯ değerine yığılırlar. Burada ilginç olan, M_{5} ’in M_{∞} ’a aşırı yakınlığına rağmen, bu dar aralıkta sonsuz kere çevrimlerin periyodu iki katına çıkar ve 2’nin her kuvvetinde periyodu olan çevrimler elde edilir. Diğer ilginç olan şey, (M_{k} − M_{k−1}) / (M_{k+1} − M_{k}) oranıdır. İlk bir kaç M_{k} ile bu oranı hesap ettiğimizde sırasıyla 4.75146 ⋯, 4.65552 ⋯, 4.67126 ⋯ ve 4.67742 ⋯ buluruz. Bu oranın k arttıkça yaklaştığı değer de hesaplanabilir [5]:

δ = 4.669201660910299097 · · · .

δ sayesinde, \frac{M_{5}−M_{4}}{M_{6}−M_{5}} ≈ 4.66920 ⋯ yaklaşık eşitliğinden M_{6} ’yı 3.56989 ⋯ diye, ve benzer şekilde M_{7} ’yi 3.56993 ⋯ diye tahmin edebiliriz.

Her M_{k} değerinde periyodu 2^{k} olan bir çevrim, ikiye parçalanarak periyodu 2^{k+1} olan bir çevrimi doğurur. Bu çevrimleri meydana getiren noktaları tam parçalanma anında hesap edebiliriz. Örneğin, (†)’de μ = M_{0} = 3 koyarak, x^{∗} = \frac{2}{3} = 0.66667 ⋯; ve (‡)’de μ = M_{1} = 1+\sqrt{6} koyarak,

x_{1,2}^{∗} = \frac{2 + \sqrt{6} ∓ \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{6})} = \{ \begin{matrix}0.43996 ⋯, \\ 0.84994 ⋯, \end{matrix}

buluruz. M_{2} için, yukarıda tarif edilen yineleme yönteminde parçalanmadan hemen önce elde edilen dört değeri alırız; bunlar yaklaşık 0.36329 ⋯ ve 0.52359 ⋯ ile 0.81979 ⋯ ve 0.88405 ⋯’tir. İlk iki sayı yukarıdaki 0.43996 ⋯’nın, sonraki iki sayı ise 0.84994 ⋯’ün parçalanmasından ortaya çıkarlar. M_{3} için aynı yöntemle, 0.34676 ⋯, 0.37477 ⋯; 0.49061 ⋯, 0.55427 ⋯; 0.80741 ⋯, 0.83520 ⋯; 0.88060 ⋯, 0.89079 ⋯ bulunur. M_{4} için ise bölünme öncesi çevriminin noktaları 0.34341 ⋯, 0.34795 ⋯; 0.36790 ⋯, 0.37969 ⋯; 0.47834 ⋯, 0.50375 ⋯; 0.54994 ⋯, 0.56090 ⋯; 0.80468 ⋯, 0.80968 ⋯; 0.82992 ⋯, 0.84054 ⋯; 0.87895 ⋯, 0.88329 ⋯; 0.89052 ⋯, 0.89214 ⋯’tür. M_{5} ’teki çevrimin noktalarını vermiyoruz, çünkü tam 32 tane. Hepsinin ikişer ikişer bir önceki gruptaki hangi noktalardan doğdukları bellidir. Çevrim noktalarının I = [0, 1] aralığındaki konumları Şekil 4’te görülüyor. Dikkat edilirse, en alt satırdaki ikinci sekizlik blok iki sıra yukarıdaki bütün noktaların sıkıştırılmış bir kopyasıdır; diğer sıralarda da gözlenebilir bu [6]. Gene yinelgen bir davranış elde ettik elimizdeki sistemden. Bu tip kendini doğuran davranışlar aslında bütün dinamik sistemlerin özelliğidir.

11

M_{0} M_{1} M_{2} M_{3} M_{4} M_{5}

Şekil 4

k sonsuza giderken 2^{k} periyotlu noktaların oluşturduğu küme, daha önce bu dergideki bir yazıda [7] anlatılan bir genelleştirilmiş Cantor kümesidir. Yalnız burada kümemiz açık aralıklar atılarak değil, noktalar eklenerek inşa edilir. Dinamik sistemler gibi Cantor kümeleri de küçültülmüş kopyalarını sonsuz kere içlerinde barındırırlar. Böylece Cantor kümelerinin inşasına da bir dinamik sistem gözüyle bakabiliriz. Aynı noktadan doğan ikizlerin aralarındaki fark da gittikçe azalır, ama düzgün bir şekilde. Her gruptaki \frac{1}{2} ’ye en yakın nokta sırasıyla 0.66667 ⋯, 0.43996 ⋯, 0.52359 ⋯, 0.49061 ⋯, 0.50375 ⋯ ve 0.49850 ⋯’dır. Bunların \frac{1}{2} ile aralarındaki uzaklık düzgün şekilde azalır. Bir önceki uzaklığın bir sonrakine oranı α_{k} her defasında hemen hemen aynıdır ve

α = 2.5029078750958928485 ⋯

değerine yaklaştığı bulunmuştur. α, çevrim noktalarının I ’daki sıklığının bir göstergesidir. Aynı oran, bazı ikizler ile onları doğuran nokta ve onun ikizi arasında da görülür. α ve δ sayılarının değişik fonksiyonlarla bile ortaya çıkması şaşırtıcıdır.

Elimizdeki dinamik sistemin kendi kendisini doğurduğunu değişik bir açıdan tekrar görelim. Şekil 2’de, F_{μ}^{2} ’nun grafiğinin ortasındaki kareye dikkatle bakalım. Bu karenin sağ üst köşesi F_{μ} ’nun sabit noktası x^{∗} ’dır. Sol üst köşesi F_{μ} ’nun, yüksekliği x^{∗} ’daki yüksekliğine eşit diğer noktasıdır. μx(1 − x) = \frac{μ−1}{μ} eşitliğinden, orada x = \frac{1}{μ} ’dur. F_{μ}^{2} ’nun grafiğinin bu karenin içinde kalan kısmı, daha küçük bir μ için F_{μ} ’nun grafiğinin ters çevrilmiş küçük bir kopyasından başka bir şey değildir. Dolayısıyla F_{μ}^{2} ’yu, bu kareyi büyük kareye yayan bir normalleştirme operatörü altında dönüştürerek, F_{μ} ’ymuş gibi incelemek de mümkündür. Üstelik buradan, M_{∞} değerinden önce F_{μ} ’nun çekerinin periyodunun sonsuz kere ikiye katlandığını görmek daha kolaydır. Şekil 3’teki F_{μ}^{4} grafiğinin orta kısmının F_{μ}^{2} ’nun grafiğinin tepetaklak hali olduğunu görmek şaşırtıcı olmasa gerek artık.

D. Kaos ve Türbülans

Peki μ > M_{∞} iken neler olur? Çoğu başlangıç değerinin yörüngesi gene bir çekere yakınsar, ama çekerin periyodu çok yüksek olabileceğinden, bunu sayılarla fark etmek imkânsızlaşır. Fakat artık bazı başlangıç değerlerinin yörüngeleri kaotiktir, yani sonlu hiç bir çekere yaklaşmadan I ’da dolanırlar. Mitolojide dünya kurulmadan önceki karışık ve belirsiz durumu anlatan kaos kelimesi bu yörüngeleri oldukça iyi betimliyor. Daha da ilginç olanı, birbirine çok yakın iki başlangıç değerinin yörüngeleri birbirinden tamamen farklı yerlere ulaşabilir. Bu özelliğe başlangıç şartlarına hassas bağımlılık denir ve kimi yazarlara göre kaosu tanımlayan üç özellikten biridir [3]. Diğer ikisi de şöyledir: Fonksiyonumuz her hangi bir küçük aralıktaki noktaları yinelemeyle diğer her hangi bir küçük aralığa taşıyabilmelidir (topolojik geçişlilik); ve de fonksiyonumuzun periyodik noktaları tanım aralığında yoğun olmalıdır, yani tanım aralığındaki her noktaya istenildiği kadar yakın bir periyodik nokta bulunabilmelidir. Bu özelliklerden son ikisinin ilkini gerektirdiği de biliniyor [1]. Bu özelliklerin şaka yollu bir açıklaması da şöyle: Çin’de bir kelebek kanatlarını çırpar; günler sonra Meksika Körfezi’nde bir kasırga patlar.

Bazı μ > M_{∞} değerleri için ise periyodu 3 olan noktalar ortaya çıkar. A kısmında baktığımız μ = 3.835 bunlardan biridir. Periyodu 3 olan noktaların önemi bu dergide daha önce çıkan bir yazıda [2] verilen bir teoremde gösterilmişti. O teoreme göre, eğer sürekli bir fonksiyonun periyodu 3 olan bir noktası varsa, diğer her hangi bir periyotlu noktası da vardır. μ = 3.835’in üçlü çevrimi çekendir, çünkü |(F_{μ}^{3})′(0.15207 ⋯)| = 0.39497 ⋯ < 1. Dikliğin çevrimin diğer iki noktasında da aynı olduğunu biliyoruz artık. Yalnız periyodu 3’ten farklı noktaların hiç birisinin meydana getirdiği çevrimin çeken olmadığı biliniyor. Başlangıç değerlerine hassas bağımlılık yüzünden, hesap makinesi veya bilgisayarla bu çevrimleri bulmak imkânsızdır. μ,

12

üçlü çevrimi veren değerlerin biraz ötesine geç tiğinde, bu çevrimler de ikiye parçalanırlar; sonra gene ikiye parçalanırlar, ve M_{∞} ’dan önceki durum tekrarlanır. Sonunda μ = 4 olduğunda, F_{μ} I ’nın her noktasında kaotiktir ve her x başlangıç değerinin yörüngesi sonlu bir çevrime ulaşamadan bu aralıkta gezinip durur.

Periyodik noktalar hakkında bir önceki paragrafta bahsettiğimiz teoremden daha çok bilgi veren bir teorem daha vardır ve doğal sayıların aşağıdaki sıralamasıyla ilgilidir:

3 ▷ 5 ▷ 7 ▷ ⋯ ▷ 2 · 3 ▷ 2 · 5 ▷ ⋯ ▷ 2^{2} · 3 ▷ 2^{2} · 5 ▷ ⋯ ▷2^{3} · 3 ▷ 2^{3} · 5 ▷ ⋯ ▷ ⋯ ▷ 2^{3} ▷ 2^{2} ▷ 2 ▷ 1.

Bu sıralamada önce 3 ile başlayarak tek sayılar dizilir, sonra tek sayıların 2 ile çarpımları, sonra 2’nin karesi ile çarpımları, ve böyle devam edilir. Geriye yalnız 2’nin kuvvetleri kalır ve bunlar da (2^{0} = 1 dahil) ters sıra halinde sona konur. Sarkovski tarafından keşfedilmiş olan teoremimiz, sürekli bir fonksiyonun her hangi bir doğal sayıda periyodu olan noktası varsa, sıralamamızda onun sağındaki bütün sayılarda da periyotlu noktaları olacağını söyler [3]. 3 en başta olduğundan, önceki teoremin doğruluğu bir defa daha görülür. Yukarıda baktığımız μ = 3.5 halinde ise, dörtlü bir çevrim olduğu için, ikili çevrimlerin ve sabit noktaların da olacağı bellidir.

Artık dinamik sistemlerle akışkanlar mekaniği arasındaki ilişkiden söz edebiliriz. Rüzgârsız bir yerde tablada yanık duran bir sigaranın dumanına veya çok açmadığınız bir musluktan akan suya bakın. Akışkan (duman veya su) önce sakin ve düzgün akacak, kaynaktan uzaklaştıkça salınıp titreşmeye başlayacak ve sonunda karmakarışık bir şekilde akmaya başlayacaktır. Bu son duruma türbülans (çalkantı) adı verilir. Bizi asıl ilgilendiren, aradaki geçiş evresindeki salınımların F_{μ} ’nun periyodik noktaları arasındaki gidiş gelişlere benzediğidir. Bu konuda genel bir teori henüz yoktur. Bu derginin bir önceki sayısındaki bir yazıda [4], kaos ve türbülans teorilerinin daha geniş bir tartışması bulunuyor.

Bazı akışkanlar mekanikçileri, türbülansa geçişin F_{μ} ’nun M_{∞} ’dan önceki davranışına benzettiler. Geçiş evresinde gittikçe daha fazla periyotta titreşimlerin ortaya çıktığını, ve M_{∞} gibi bir noktada aniden başlayan tam türbülansın, sonsuz sayıda değişik periyotlu salınımın bir bileşkesi olduğunu ileri sürdüler. Diğer bazıları ise üçlü periyot üzerinde durdular ve önce sonlu sayıda değişik periyotlu titreşimlerin olacağını, sonra da aniden üçlü bir periyodun doğurduğu bir garip çekerin tam türbülansı oluşturacağını iddia ettiler [8]. Garip çeker denilen şey, bizim şimdiye kadar gördüğümüz çekerlerden farklıdır ve en az iki boyutlu sistemlerde ortaya çıkar. Bizim çekerlerimizde (kaotik bölgede değil), birbirine yakın iki noktanın ikisinin de yörüngesi ya çekere yakınsar, ya da ∓∞’dan birine kaçar. Garip çekerlerde böyle iki noktanın yörüngeleri sonsuza kaçmadan birbirinden uzaklaşabilir ve çekerin civarında ayrı ayrı yoğun kümeler oluşturabilir; bu çekerler kaotiktir. Garip sıfatı bunlara konuyu ilk inceleyenlerce verilmiştir ve matematiksel bir anlam ifade etmez.

Şekil 5 (μ = 4.15)

13

E. Cantor Kümelerine Dönüş

Son olarak kabullenmelerimizden birinin dışına çıkıp μ > 4 haline bakalım. Artık F_{μ} ’nun I üzerindeki maksimumu \frac{μ}{4} > 1, ve Şekil 5’te de görüldüğü gibi, I ’nın tam ortasındaki bir A_{0} açık aralığındaki x’leri F_{μ}, I dışına taşır. Bu noktaların yörüngesi −∞’a kaçar. Diğer bir yazışla, x ∈ A_{0} ise F_{μ}(x) > 1, F_{μ}^{2}(x) < 0 ve

lim_{n→∞} F_{μ}^{n}(x) = −∞.

I ’nın geri kalan noktaları, bir kere F_{μ} uygulandığında I ’da kalırlar. Bunların A_{1} kümesi diyeceğimiz bir kısmı, F_{μ} altında A_{0} ’a taşınırlar; bir kere daha F_{μ} uygularsak I ’nın dışına çıkarlar ve sonunda −∞’a giderler. Geri kalanların bir kısmı (A_{2} ), F_{μ} ’nun iki kere yinelenmesiyle A_{0} ’a girer, üçüncü yinelemede I dışına çıkarlar. Genelleyerek

A_{n} = { x ∈ I : F_{μ}^{n}(x) ∈ A_{0} }
= { x ∈ I : F_{μ}^{k}(x) ∈ I (k ≤ n), F_{μ}^{n+1}(x) ∉ I }

diyebiliriz. I ’dan bütün A_{n} ’lerin atılmasıyla kalan ve yörüngeleri I ’dan kaçmayan noktalardan meydana gelen

C = I \ ( ⋃_{n=0}^{∞} A_{0})

kümesini daha iyi anlamak istiyoruz.

μ > 4 ve F_{μ}(x) = μx(1 − x) = 1 ise

x = a_{1,2} = \frac{μ ∓ \sqrt{μ(μ − 4)}}{2μ} ∈ I

olur. O halde I \A_{0} iki kapalı aralığin bileşimidir: I_{1} = [0, a_{1}] ve I_{2} = [a_{2}, 1]. Hem I_{1} ’in hem de I_{2} ’nin F_{μ} altındaki görüntüsü I ’yı tamamen örter: F_{μ}(I_{1}) = F_{μ}(I_{2}) = I. I_{1} (I_{2} ) üzerinde F_{μ} tekdüze artandır (azalandır), yani bire birdir. Dolayısıyla, hem I_{1} ’in hem de I_{2} ’nin ortasında, F_{μ} altında A_{0} ’a taşınan birer açık aralık vardır; bileşimlerine A_{1} deriz. I \(A_{0}∪A_{1}) dört tane kapalı aralıktan meydana gelir ve F_{μ} her birini tekdüze olarak I_{0} veya I_{1} üzerine, F_{μ}^{2} ise gene tekdüze I üzerine gönderir. Önceki adımdaki gibi, bu dört aralığın her birinin ortasında, F_{μ}^{2} tarafından A_{0} ’a gönderilen birer açık aralık bulunur, ki bunlar A_{2} dediğimiz kümedir. Bahsedilen aralıklar Şekil 5’te F_{μ} ’nun grafiği ile birlikte görülüyor. Genel olarak A_{n}, 2^{n} tane ayrık açık aralıktan oluşur, I \ (A_{0} ∪ ⋯ ∪ A_{n}) ise 2^{n+1} tane kapalı aralıktan. F_{μ}^{n+1} bu kapalı aralıkların her birini tekdüze ve üzerine olarak I ’ya gönderir, ve her birinde değişmeli olarak artan ve azalandır. F_{μ}^{n+1} ’nun grafiği 2^{n} hörgüçlüdür ve y = x doğrusunu en az 2^{n} yerde keser. Buradan da F_{μ}^{n} ’nun en az 2^{n} sabit noktası olduğu, ya da F_{μ} ’nun periyodu n olan en az 2^{n} noktası olduğu ortaya çıkar. Şimdiye kadar yaptığımız iş [7]’de anlatılan Cantor kümesi inşasından farksızdır ve C bir genelleştirilmiş Cantor kümesidir.

C ’deki bir noktanın F_{μ} altındaki yörüngesi tamamıyla C ’de kalır, çünkü dışarı kaçan noktalar A_{k} ’lerin birindedir. Dahası da var. F_{μ} ’nun a_{1} ve a_{2} ’deki dikliği β = |F′_{μ}(a_{1})| = |F′_{μ}(a_{2})| = \sqrt{μ(μ − 4)}. Şekil 5’teki grafikten de görüleceği gibi, eğer β ’nın 1’den büyük olmasını sağlarsak, F_{μ} ’nun I_{1} ve I_{2} üzerindeki dikliği 1’den büyük olur. C ⊂ I_{1} ∪ I_{2} olduğundan, aynı şartlar altında, C noktalarındaki diklik de 1’den büyüktür. Sonuç olarak, β > 1 eşitsizliğinin sağlandığı

μ > 2 + \sqrt{5}

değerlerinde, C kümesinin tamamı iten noktalardan oluşur.

KAYNAKÇA

[1] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis & P. Stacey, On Devaney’s Definition of Chaos, American Mathematical Monthly, 99, 332–334 (1992).

[2] B. Demir, Ara Değer Teoremi ve Periyodik Noktalar, Matematik Dünyası, 3, sayı 5, 7–9 (1993).

[3] R.L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2. baskı, Addison-Wesley, Redwood City, 1989.

[4] A. Eden, Katastrof ve Kaos Teorileri Hakkında, Matematik Dünyası, 4, sayı 1, 6–11 (1994).

[5] M.J. Feigenbaum, Universal Behavior in Nonlinear Systems, Los Alamos Science, 1, Yaz, 4– 27 (1980).

[6] D.R. Hofstadter, Mathemagical Themas, Scientific American, 245, Kasım, 16–29 (1981).

[7] H.T. Kaptanoğlu, Cantor Kümeleri, Matematik Dünyası, 3, sayı 4, 15–23 (1993).

[8] P.C. Martin, Instabilities, Oscilations, and Chaos, Journal de Physique, 37, C1, 57–66 (1976).

14