2003 YILININ SORULARI

Ocak 2003

Soru :

a1, a2, … , an , her i = 1, 2, … , n için,  ai ≤ i eşitsizliğini sağlayan n tane doğal sayı olsun. Eğer  toplamı çift sayı

 ise, a1 ± a2 ± a3 ± … ± an ifadelerinden en az birisınin sıfıra eşit olduğunu ispatlayınız.

 Çözüm

 

 

 Doğru Çözenler  
Julien Santini Universite de Provence, Fransa

Athanasios Papaioannou

Selanik, Yunanistan
Stojan Trajanovski

High School "RJ Korcagin"

Skopje, R. Macedonia
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada

Hung Ha Duy

Hanoi University of Education, Vietnam
Ti Yin Toronto, Kanada
     
     
     

 

Şubat 2003

  

Soru :

 denkleminin sonsuz tane doğal sayı çözümü olduğunu ispatlayınız.

 

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Hung Ha Duy Hanoi University of Education, Vietnam
Umut Işık Bilkent Üniversitesi, Ankara
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Stojan Trajanovski

High School "RJ Korcagin"

Skopje, R. Macedonia

Athanasios Papaioannou

Selanik, Yunanistan
Beata Stehlikova Comenius University, Bratislava, Slovakya
Janos Kramar Toronto, Kanada
Erdem Özcan Bilkent Üniversitesi, Ankara
Erkan Melih Şensoy TED Zonguldak Koleji
Julien Santini Universite de Provence, Fransa
Ahmet Şensoy Bilkent Üniversitesi, Ankara

Vejdi Hasanov

Shumen University, Bulgaristan
Mustafa Öztekin Boğaziçi Üniversitesi, Istanbul
Richard Pinch Cheltenham, Ingiltere
Öztekin Bakır Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara
Eaturu Sribar

Indian Institute of Technology, Mumbai, Hindistan
Eren Çetin Hacettepe Üniversitesi, Ankara
Ali Yıldız Bilkent Üniversitesi, Ankara

 

Mart 2003

Soru :

Ağırlıkları 1, 2, 3, … , 26 gram olan taşlardan oluşan bir  kümesi alalım. Aşağıdaki önermeleri ispat ediniz.

a)   kümesinin 6 elemanlı öyle bir  alt kümesini oluşturabiliriz ki,   kümesi,  toplam ağırlıkları eşit olan iki ayrık alt küme içermez.

b)  kümesinin en az 7 taş içeren herbir C alt kümesinde, toplam ağırlıkları eşit olan iki ayrık alt küme bulunur.

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Julien Santini Universite de Provence, Fransa
Ahmet Şensoy Bilkent Üniversitesi, Ankara

Athanasios Papaioannou

Selanik, Yunanistan
Hung Ha Duy Hanoi University of Education, Vietnam
 

 

Nisan 2003

Soru :

, n = 1, 2, …. dizisinin 2 ve 3 dışında tüm asal sayıları içerdiğini ispatlayınız.

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Ali Yıldız Bilkent Üniversitesi, Ankara
Vlad Petrescu University of Florida, ABD
Hung Ha Duy Hanoi University of Education, Vietnam
Ahmet Şensoy

Bilkent Üniversitesi, Ankara
Athanasios Papaioannou

Selanik, Yunanistan
Ünsal Atasoy Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara
Stojan Trajanovski

High School "RJ Korcagin"

Skopje, R. Macedonia
Umut Işık Bilkent Üniversitesi, Ankara
Talat Şenocak Bilkent Üniversitesi, Ankara
Julien Santini Universite de Provence, Fransa
Birol Bakay Bilkent Üniversitesi, Ankara
Zekeriya Yalçın Karataş Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara
Bruno Langlois Lycee Jean Rostand, Mantes, Fransa
Özgür Ocak İstanbu Teknik Üniversitesi
Erdem Özcan Bilkent Üniversitesi, Ankara
Çağrı Özçağlar Bilkent Üniversitesi, Ankara
Ali İlik , Gürel Yıldız Işık Üniversitesi
Şener Öztürk

 

 

Mayıs 2003

Soru :

Katsayıları negatif olmayan  

polinomunun n tane reel kökü varsa

 olduğunu ispatlayın.

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Ahmet Şensoy Bilkent Üniversitesi, Ankara
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Athanasios Papaioannou Selanik, Yunanistan
Atilla Yılmaz Boğaziçi  Üniversitesi, Istanbul
Gürel Yıldız Işık Üniversitesi, Istanbul
Zekeriya Yalçın Karataş Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara
Ünsal Atasoy Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara
Stojan Trajanovski

High School "RJ Korcagin"

Skopje, R. Macedonia
Hung Ha Duy Hanoi University of Education, Vietnam
Yüksel Demir Özel Aziziye Lisesi, Erzurum

 

Haziran 2003

Soru :

 ve  katsayıları tamsayı olan iki  polinom olsun.  ve  polinomları her x reel sayısı için

 ,  ve  

eşitsizliklerini sağlarlarsa, her x sayısı için  olduğunu ispatlayın.

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Atilla Yılmaz Boğaziçi  Üniversitesi, Istanbul
Ali Yıldız Bilkent Üniversitesi, Ankara
Stojan Trajanovski

High School "RJ Korcagin"

Skopje, R. Macedonia
Athanasios Papaioannou Selanik, Yunanistan
Richard Pinch Cheltenham, İngiltere
     
     
     
     
     

 

Temmuz - Ağustos 2003

Soru :

Herhangi bir k tamsayısı için,  çarpımının tamsayı olduğu, ancak ,  ve ’ nin tamsayı olmadığı, reel katsayılı  ve  polinomları var mıdır?

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Bruno Langlois Lycee Rabelais, Meudon, Fransa
Mustafa Turgut Isparta
Athanasios Papaioannou Selanik, Yunanistan
Fatih Selimefendigil Istanbul Teknik Universitesi
     
     
     

 

Eylül 2003

Soru :

 denklemini doğal sayılar içinde çözünüz.

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Henry Shin University of California, San Diego, USA
Julien Santini Universite de Provence, Fransa
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Fatih Selimefendigil Istanbul Teknik Üniversitesi
Tomas Jurik Comenius University, Bratislava, Slovakya
Jan Mazak Comenius University, Bratislava, Slovakya
     

 

Ekim 2003

Soru :

 

katsayıları tamsayı olan bir polinom olsun.  denkleminin  i = 1, 2, 3 için en az bir tamsayı çözümü olduğunu varsayarsak,

  denleminin en çok bir tamsayı çözümü olduğunu ispatlayın.

 

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Jan Mazak Comenius University, Bratislava, Slovakya
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Henry Shin University of California, San Diego, USA
Ali Adali Bilkent Üniversitesi, Ankara
Fatih Selimefendigil Istanbul Teknik Üniversitesi
Abdullah Turan Istanbul Teknik Üniversitesi
     

 

Kasım 2003

Soru :

 denklemini sağlayan tüm a ve b doğal sayı çiftlerini bulunuz.

 

Çözüm

 

 Doğru Çözenler  
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Henry Shin University of California, San Diego, ABD
İhsan Aydemir Umraniye Lisesi, Istanbul
Cihan Okay Bilkent Üniversitesi
Andrei Negut Bucharest, Romanya
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada
Jacob Tsimerman Toronto, Kanada
Birol Yeşiltepe Marmara Üniversitesi
Bruno Langlois Lycee Rabelais, Meudon, Fransa

 

Aralık 2003

Soru :

n adet  ,  sayısı alalım. Bu sayılar için  eşitliği geçerli olsun. Bu n sayının, herbir gruptaki sayıların değerlerinin toplamı 15’i geçmeyen, 11 gruba ayrılabileceğini ispatlayınız.

Çözüm

 

 

 Doğru Çözenler  
Usko Lahti Hyvinkaan Sveitsin lukio, Finlandiya
Athanasios Papaioannou Boston, ABD
Ali Adalı Bilkent Üniversitesi
Michael Lipnowski St.John's Ravenscourt School, Winnipeg, Kanada